《数学模型》微分练习题1解决

数学建模微分练习题1

1.假定人口的增长服从这样的规律：时刻t的人口为x(t)，单位时间内人口的增量与 成正比（其中 为最大容量）。试建立模型并求解,写出建立的模型，并用matlab画出人口数x（t）关于t的曲线图（成正比的比例值自行取值，并注明）。

xm=15;k=0.006;

t=0:2008;

dsolve('Dx-k*(xm-x)','x(1)=400');

y=xm+exp(-k*t)*(-xm+3)/exp(-k);

plot(t,y)

2.政府中的腐败

与一宗重大的政府丑闻的有牵连人数的增加率与早已牵连进去的人数和尚未牵连进去的人数的乘积成正比。假设当华盛顿的报纸将这一丑闻公诸于众时，有牵连人数为7人，3个月后有牵连人数增加了9人，又过了3个月后有牵连人数增加了12人。与该丑闻有关的人数大概有多少人？请写出建立的模型及用matlab或者公式推导出来的结果。

y=dsolve('Da-r*a*(x-a)=0');

t=0:3:12;

solve('x/(1+exp(-r*x*0)*C1*x)-7','x/(1+exp(-r*x*3)*C1*x)-16','x/(1+exp(-r*x*6)*C1*x)-28')

增长率= 5/672*log(3)

总人数=224/5

3.某城市1990年的人口密度近似为 ， 表示距市中心r公里区域内的人口数，单位为每平面公里10万人。

（1）试求距市中心2km区域内的人口数。写出建立的模型，并用matlab算出最终答案。

syms r;

s=int(8*r*pi/(r^2+20),0,2)

Ans=4*pi*log(2)+4*pi*log(3)-4*pi*log(5)

待定，答案错误：模型：人口的增长=密度的增长*面积的增长

（2）若人口密度近似为 （单位不变），试求距市中心2km区域内的人口数。写出建立的模型，并用matlab算出最终答案。

syms r;

s=int(2*pi*r*1.2*exp(-0.2*r),0,2)

Ans=-84*exp(-2/5)*pi+60*pi

4.设 表示t时刻某城市的人口数，假设人口变化动力学受下列两条规则的影响：

一、t时刻净增人口以每年r(t)的比率增加；二、在一段时期内，比如说从 到 ，由于死亡或迁移， 时刻的人口数 的一部分在 时刻仍然存在，我们用 来表示， ， 是这段时间的长度。

（1）试建立在任意时刻t人口规模的模型，并写出。

p(T)=h(T)p0+ %SIGMA h(T-t)r(t)dt

（2）设r(t)= + t ，h(t)= ,1990年该城市人口数为 ，求2000年该城市的人口数。用matlab算出最终答案。

syms p0 t;

%T=1990;

dsolve(10^7-exp(1990/40)*p0-int(exp((1990-t)/40)*(5*10^4+10^5*t),t,0,1990)