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二维阵列SOM模型
作者：laughinheart 来源：不详 发布时间：2008-8-1 16:40:48
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增大字体SOM自组织映射网络的知识基础
1．5．2二维阵列SOM模型
自组织特征映射SOM模型可以用二维阵列表示。这种结构如图所示。
图1-29 二维阵列SOM模型
二维阵列神经网络由输入层和竞争层组成。输入层是一维的神经元。竞争层是二维的神经元。输入层的神经元和二维阵列竞争层的神经元每个都相互连接。二维阵列竞争层也称输出层。
在二维阵列竞争层中，可以清楚看出：每一个输出神经元都和最近相邻的8个神经元相连；当然，最边沿的神经元和3—5个神经元相连，但这只是最边沿的神经元才会这样。而从二维阵列内部一般有：每个输出神经元和8个最相邻的神经元相连。在SOM模型中，对于神经元j，它的外部输入信号可以用Ij表示：
(1-86)
其中：xi是外部输入信号；
Wij是输入神经元i到输出神经元j之间的权系数。
对神经元j来说，它的输出Yj的活动可以用如下微分方程表示：
(1-87)
其中：Sj是和神经元j相联系的神经元子集；
rk是系数，它和权系数和横向连接结构有关；
g(Yj)是非线性损失，如神经元饱和，分流和泄漏效应等。
神经元的输入情况可以用因1—30来表示。
图1-30 神经元的输入情况
神经元的输出Yj的初始分布可能是随机的；但随着时间的变化，由于输出层神经元有侧向交互的作用，Yi的分布就会因对环境的组织而形成“气泡”状，这种状态如图1—28所示。
在神经网络中，随外部环境的输入，神经元的权系数是自适应变化的；这一过程就是神经网络自学习的过程。神经元自适应过程是和其输出值，外部输入，权系数都有关系，一般用如下方程表示：
(1-88)
其中：wj是权系数向量，Wj＝(W1j，W2j，…Wnj)T；
X是输入向量，X＝(X1，X2，…，Xn)T；
α,β是正的标量常数。
神经元在自适应过程中所形成的“气泡”，在本质上是产生和输入模式对于表示形态。
而这种“气泡”是以特定的神经元c为中心的，并且是以一定半径所包围的神经元子集Nc，如果令
Yj∈(0,1)
β∈(0,α)
并且有
这在实质上要求神经元在所给定的半径范围之内的Nc子集中时，则其输出为1；而在子集Nc之外时，则其输出为0。同时，系数β在神经元处于Nc之内时，取值为α；否则取值为0。
很明显，这时的神经元自适应过程表示如下：
(1-89)
考虑j∈Nc和j/∈Nc两种情况，则自组织过程可用两个不同条件的式子表示，并且有
(1-90)
上式说明：在自组织过程中，SOM模型神经元所处的位置对学习结果有影响。当和中心神经元C的距离较近，在给定半径之内时，权系数以输入模式和现行权系数Wj之差的一定水平进行修改；和神经元C的距离较远，则权系数不变。
1．5．3 SOM模型的学习算法
在神经网络的SOM模型中，每一个权系数的有序序列 Wj=(W1j，W2j，...Wnj)都可以看作是神经网络的一种内部表示，它是有序的输入序列X=(X1，X2，...，Xn)的相对应映象。
SOM模型可以实现自组织功能。自组织的目的就是通过调整权系数Wij，使神经网络收敛于一种表示形态，在这一表示形态中的一个神经元只对某种输入模式特别匹配或特别
敏感。换而言之．自组织映射的目的就是使神经元的权系数的形态表示可以间接模仿输入的信号模式。
自组织特征映射SOM的学习算法是由两部分组成的，这两部分如下
1．最优匹配神经元的选择；
2．网络中权系数的自组织过程。
这两部分是相互相成的，它们共同作用才能完成自组织特征映射的学习过程。选择最优匹配神经元实质是选择输入模式对应的中心神经元C。权系数的自组织过程则是以“墨西哥帽”的形态来使输入模式得以存放。
每执行一次学习，则SOM网络中就会对外部输入模式执行一次自组织适应过程；其结果是强化现行模式的映射形态，弱化以往模式的映射形态。下面分别对自组织特征映射SOM的学习算法两个部分进行介绍。
一、最优匹配神经元的选择
设有输入模式x
x＝(x1，x2，…，xn)T
对于自组织特征映射SOM网络的输出层神经元j，则有权系数向量Wj
Wj=(W1j,W2j,...Wnj)T j=1,2,...,n
权系数向量是对输入模式的映射，也即是说，权系数向量某一形态对应于某一输入模式。输入模式x和权系数Wj的匹配程度是用两者的内积表示的，即用XTWj表示。内积最大处正是“气泡”中心。内积xTwj最大时，则必定有x和Wj之间的向量差的范数‖x—Wj‖最小，这个最小矩离就确定了最优匹配的神经元C；从而有“气泡”中心C，满足：
(1-91)
其中：Wc是神经元c的权系数向量。
这个式子也就是匹配规则。
上面式子说明：气泡中心就是神经元C，它的权系数向量Wc同输入模式x有最优匹配。
注意‖x—Wj‖是欧几里德距离。它由下面式子求出：
(1-92)
根据匹配规则求出的Wc是神经元C的权系数向量，它是以C为中心的气泡的一种表示形态；Wc的表示形态就是和输人模式x的最优匹配。一般称wc是x的最优匹配。在求出Wc之后，也即是求出了气泡中心C。接着，就可以考虑对神经元C为中心的邻域Nc有关神经元的权系数的自组织过程。因为，Wc虽然是求出的对输入模式x的最优匹配；但wc仍然不是充分表示X；为了使见能够在改进之后，其形态能充分表示x；故还应对权系数向量Wc进行自组织学习，才能真正形成对应x的气泡。
二、网络权系数的自组织
在SOM网络中，每一个输出神经元都接收相同的输入模式X。对于输出神经元j来说，其最简单的输出是线性的；并且，可以用下式表示：
(1-93)
在权系数进行自组织学习时，权系数的调整方程如下：
(1-94)
其中：Y(t)是随时间t变化的递减增益函数；
Yj(t)是输出神经元i的输出；
Xi(t)是输入神经元i的输人；
Wij(t)是输入神经元i和输出神经元j在时间t时的权系数；
r是常系数。
对于气泡中心神经元c，以其为中心考虑一个邻近的区域Nc。Nc是以神经元C为中心的某一半径范围内全部神经元的集合。
在Nc区域之内，所有神经元的输出为1；在Nc区域之外，所有神经元的输出为0。即有
如果令常系数r为1，即
r=1
则权系数的调整方程成为
(1-95)
图1-31 邻近区域Nc随时向的变化
区域Nc的范围宽度是时变的，在开始时可以选择范围宽一些，通常不妨为网络宽度的一半以上；随着时间的推移，Nc向以C为中心的小范围单调变小，最后甚至可以终结在神经元C处，即Nc＝{C}。
邻近区域Nc随时间而变化的示意图如图1—31中所示。从图中可以看出Nc(tk-1)时的范围比Nc(tk-2)时要小；也就是说，随时间的推移所考虑的邻近区域变小。当到达时间tk时，邻近区域Nk则处在神经元c处，也即处于气泡中心位置。
上面式(1—95)的权系数调整方程可以写为下面形式
在离散系统中，如果以△t为采样周
1．5．2二维阵列SOM模型
自组织特征映射SOM模型可以用二维阵列表示。这种结构如图所示。
图1-29 二维阵列SOM模型
二维阵列神经网络由输入层和竞争层组成。输入层是一维的神经元。竞争层是二维的神经元。输入层的神经元和二维阵列竞争层的神经元每个都相互连接。二维阵列竞争层也称输出层。
在二维阵列竞争层中，可以清楚看出：每一个输出神经元都和最近相邻的8个神经元相连；当然，最边沿的神经元和3—5个神经元相连，但这只是最边沿的神经元才会这样。而从二维阵列内部一般有：每个输出神经元和8个最相邻的神经元相连。在SOM模型中，对于神经元j，它的外部输入信号可以用Ij表示：
(1-86)
其中：xi是外部输入信号；
Wij是输入神经元i到输出神经元j之间的权系数。
对神经元j来说，它的输出Yj的活动可以用如下微分方程表示：
(1-87)
其中：Sj是和神经元j相联系的神经元子集；
rk是系数，它和权系数和横向连接结构有关；
g(Yj)是非线性损失，如神经元饱和，分流和泄漏效应等。
神经元的输入情况可以用因1—30来表示。
图1-30 神经元的输入情况
神经元的输出Yj的初始分布可能是随机的；但随着时间的变化，由于输出层神经元有侧向交互的作用，Yi的分布就会因对环境的组织而形成“气泡”状，这种状态如图1—28所示。
在神经网络中，随外部环境的输入，神经元的权系数是自适应变化的；这一过程就是神经网络自学习的过程。神经元自适应过程是和其输出值，外部输入，权系数都有关系，一般用如下方程表示：
(1-88)
其中：wj是权系数向量，Wj＝(W1j，W2j，…Wnj)T；
X是输入向量，X＝(X1，X2，…，Xn)T；
α,β是正的标量常数。
神经元在自适应过程中所形成的“气泡”，在本质上是产生和输入模式对于表示形态。
而这种“气泡”是以特定的神经元c为中心的，并且是以一定半径所包围的神经元子集Nc，如果令
Yj∈(0,1)
β∈(0,α)
并且有
这在实质上要求神经元在所给定的半径范围之内的Nc子集中时，则其输出为1；而在子集Nc之外时，则其输出为0。同时，系数β在神经元处于Nc之内时，取值为α；否则取值为0。
很明显，这时的神经元自适应过程表示如下：
(1-89)
考虑j∈Nc和j/∈Nc两种情况，则自组织过程可用两个不同条件的式子表示，并且有
(1-90)
上式说明：在自组织过程中，SOM模型神经元所处的位置对学习结果有影响。当和中心神经元C的距离较近，在给定半径之内时，权系数以输入模式和现行权系数Wj之差的一定水平进行修改；和神经元C的距离较远，则权系数不变。
1．5．3 SOM模型的学习算法
在神经网络的SOM模型中，每一个权系数的有序序列 Wj=(W1j，W2j，...Wnj)都可以看作是神经网络的一种内部表示，它是有序的输入序列X=(X1，X2，...，Xn)的相对应映象。
SOM模型可以实现自组织功能。自组织的目的就是通过调整权系数Wij，使神经网络收敛于一种表示形态，在这一表示形态中的一个神经元只对某种输入模式特别匹配或特别
敏感。换而言之．自组织映射的目的就是使神经元的权系数的形态表示可以间接模仿输入的信号模式。
自组织特征映射SOM的学习算法是由两部分组成的，这两部分如下
1．最优匹配神经元的选择；
2．网络中权系数的自组织过程。
这两部分是相互相成的，它们共同作用才能完成自组织特征映射的学习过程。选择最优匹配神经元实质是选择输入模式对应的中心神经元C。权系数的自组织过程则是以“墨西哥帽”的形态来使输入模式得以存放。
每执行一次学习，则SOM网络中就会对外部输入模式执行一次自组织适应过程；其结果是强化现行模式的映射形态，弱化以往模式的映射形态。下面分别对自组织特征映射SOM的学习算法两个部分进行介绍。
一、最优匹配神经元的选择
设有输入模式x
x＝(x1，x2，…，xn)T
对于自组织特征映射SOM网络的输出层神经元j，则有权系数向量Wj
Wj=(W1j,W2j,...Wnj)T j=1,2,...,n
权系数向量是对输入模式的映射，也即是说，权系数向量某一形态对应于某一输入模式。输入模式x和权系数Wj的匹配程度是用两者的内积表示的，即用XTWj表示。内积最大处正是“气泡”中心。内积xTwj最大时，则必定有x和Wj之间的向量差的范数‖x—Wj‖最小，这个最小矩离就确定了最优匹配的神经元C；从而有“气泡”中心C，满足：
(1-91)
其中：Wc是神经元c的权系数向量。
这个式子也就是匹配规则。
上面式子说明：气泡中心就是神经元C，它的权系数向量Wc同输入模式x有最优匹配。
注意‖x—Wj‖是欧几里德距离。它由下面式子求出：
(1-92)
根据匹配规则求出的Wc是神经元C的权系数向量，它是以C为中心的气泡的一种表示形态；Wc的表示形态就是和输人模式x的最优匹配。一般称wc是x的最优匹配。在求出Wc之后，也即是求出了气泡中心C。接着，就可以考虑对神经元C为中心的邻域Nc有关神经元的权系数的自组织过程。因为，Wc虽然是求出的对输入模式x的最优匹配；但wc仍然不是充分表示X；为了使见能够在改进之后，其形态能充分表示x；故还应对权系数向量Wc进行自组织学习，才能真正形成对应x的气泡。
二、网络权系数的自组织
在SOM网络中，每一个输出神经元都接收相同的输入模式X。对于输出神经元j来说，其最简单的输出是线性的；并且，可以用下式表示：
(1-93)
在权系数进行自组织学习时，权系数的调整方程如下：
(1-94)
其中：Y(t)是随时间t变化的递减增益函数；
Yj(t)是输出神经元i的输出；
Xi(t)是输入神经元i的输人；
Wij(t)是输入神经元i和输出神经元j在时间t时的权系数；
r是常系数。
对于气泡中心神经元c，以其为中心考虑一个邻近的区域Nc。Nc是以神经元C为中心的某一半径范围内全部神经元的集合。
在Nc区域之内，所有神经元的输出为1；在Nc区域之外，所有神经元的输出为0。即有
如果令常系数r为1，即
r=1
则权系数的调整方程成为
(1-95)
图1-31 邻近区域Nc随时向的变化
区域Nc的范围宽度是时变的，在开始时可以选择范围宽一些，通常不妨为网络宽度的一半以上；随着时间的推移，Nc向以C为中心的小范围单调变小，最后甚至可以终结在神经元C处，即Nc＝{C}。
邻近区域Nc随时间而变化的示意图如图1—31中所示。从图中可以看出Nc(tk-1)时的范围比Nc(tk-2)时要小；也就是说，随时间的推移所考虑的邻近区域变小。当到达时间tk时，邻近区域Nk则处在神经元c处，也即处于气泡中心位置。
上面式(1—95)的权系数调整方程可以写为下面形式
在离散系统中，如果以△t为采样周
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