matlab优化工具箱介绍

    其中步长极值为：

然后只要利用三个梯度或函数方程组就可以确定系数a和b，从而可以确定α^*。得到该值以后，进行搜索区间的收缩。在缩短的新区间中，重新安排三点求出下一次的近似极小点α^*，如此迭代下去，直到满足终止准则为止。其迭代公式为：

其中

二次插值法的计算速度比黄金分割法的快，但是对于一些强烈扭曲或可能多峰的函数，该法的收敛速度会变得很慢，甚至失败。

2．间接法

    间接法需要计算目标函数的导数，优点是计算速度很快。常见的间接法包括牛顿切线法、对分法、割线法和三次插值多项式近似法等。优化工具箱中用得较多的是三次插值法。

三次插值的基本思想与二次插值的一致，它是用四个已知点构造一个三次多项式P₃(x)，用它逼近函数f(x)，以P₃(x)的极小点作为f(x)的近似极小点。一般讲，三次插值法比二次插值法的收敛速度要快些，但每次迭代需要计算两个导数值。

三次插值法的迭代公式为

其中

    如果函数的导数容易求得，一般来说首先考虑使用三次插值法，因为它具有较高的效率。对于只需要计算函数值的方法中，二次插值法是一个很好的方法，它的收敛速度较快，尤其在极小点所在区间较小时尤其如此。黄金分割法则是一种十分稳定的方法，并且计算简单。由于以上原因，Matlab优化工具箱中使用得较多的方法是二次插值法、三次插值法、二次、三次混合插值法和黄金分割法。

9.2.1.2 相关函数介绍

fminbnd

功能：找到固定区间内单变量函数的最小值。

语法：

x = fminbnd(fun,x1,x2)

x = fminbnd(fun,x1,x2,options)

x = fminbnd(fun,x1,x2,options,P1,P2,...)

[x,fval] = fminbnd(...)

[x,fval,exitflag] = fminbnd(...)

[x,fval,exitflag,output] = fminbnd(...)

描述：

fminbnd求取固定区间内单变量函数的最小值。

x = fminbnd(fun,x1,x2)返回区间{x1，x2}上fun参数描述的标量函数的最小值x。

x = fminbnd(fun,x1,x2,options)用options参数指定的优化参数进行最小化。

x = fminbnd(fun,x1,x2,options,P1,P2,...)提供另外的参数P1,P2等,传输给目标函数fun。如果没有设置options选项，则令options=[]。

[x,fval] = fminbnd(...)返回解x处目标函数的值。

[x,fval,exitflag] = fminbnd(...)返回exitflag值描述fminbnd函数的退出条件。

[x,fval,exitflag,output] = fminbnd(...)返回包含优化信息的结构输出。

变量：

函数的输入变量在表9-7中进行描述，输出变量在表9-8中描述。与fminbnd函数相关的细节内容包含在fun,options,exitflag和output等参数中，如表9-10所示。

表9-10 参数描述表

算法：

fminbnd是一个M文件。其算法基于黄金分割法和二次插值法。文献[1]中给出了实现同样算法的Fortran程序。

局限性：

1．目标函数必须是连续的。

2．fminbnd函数可能只给出局部最优解。

3．当问题的解位于区间边界上时，fminbnd函数的收敛速度常常很慢。此时，fmincon函数的计算速度更快，计算精度更高。

4．fminbnd函数只用于实数变量。

参见：

fminsearch, fmincon, fminunc, optimset, inline

文献：

[1]   Forsythe, G.E., M.A. Malcolm, and C.B. Moler, Computer Methods for Mathematical Computations, Prentice Hall, 1976.

9.2.1.3 应用实例

[例一] 在区间（0，2π）上求函数sin(x)的最小值：

x = fminbnd(@sin,0,2*pi)

x =

     4.7124

所以区间（0，2π）上函数sin(x)的最小值点位于x=4.7124处。

最小值处的函数值为：

y = sin(x)

y =

    -1.0000

     磁盘中该问题的M文件名为opt21_1.m。

       [例三] 对边长为3m的正方形铁板，在四个角处剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？

               假设剪去的正方形的边长为x，则水槽的容积为

现在要求在区间（0，1.5）上确定一个x，使 最大化。因为优化工具箱中要求目标函数最小化，所以需要对目标函数进行转换，即要求 最小化。

首先编写M文件opt21_3o.m:

function f = myfun(x)

f = -(3-2*x).^2 * x;

然后调用fminbnd函数(磁盘中M文件名为opt21_3.m)：

x = fminbnd(@opt21_3o,0,1.5)

得到问题的解：